Esame del 23 dicembre 2021

Università degli studi di Catania
Corso di laurea Triennale in Matema
tica Prova scritta di Fisica
Matematica Appello del 23.12.2021

Un piano verticale \(\Pi\) ruota uniformemente, con velocitá angolare \(\vec{\omega}\) attorno ad una sua retta verticale \(r\).

Tale piano coincide con il piano coordinato \(x y\) di un riferimento ortonormale levogiro \(\left\{O, \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right\} \equiv\{O, x, y, z\}\) con l'asse delle \(y\) verticale ascendente sovrapposto alla retta \(r\) (vedi figura)

In \(\Pi\) é mobile un disco \(S\) omogeneo, di massa \(m\), raggio \(R\) e centro \(G\), avente un estremo \(A\) di un suo diametro vincolato a muoversi sull'asse delle \(x\).

Scegliando come parametri lagrangiani le coordinate generali \(\{X, \vartheta\}\), dove \(X\) l'ascissa del baricentro di \(S\) e \(\vartheta\) l'angolo che il vettore \((G-A)\) forma con la verticale discendente (vedi figura), e che su \(S\), oltre alla forza peso, agiscano le forze

\[\left\{F_{1}=-K(G-\bar{G}), G\right\} \quad \text { ed } \quad\left\{F \overrightarrow{e_{1}}, B\right\} \quad \text { con } \quad K>0, \quad F \geq 0\]

essendo \(\bar{G}\) la proiezione ortogonale di \(G\) sull'asse delle \(y, B\) il punto del disco tale che \((B-G)=\overrightarrow{e_{3}} \wedge(A-G)\).

Nella ipotesi che i vincoli siano realizzati senza attrito, si chiede di:

  1. Determinare sotto quali condizioni sui parametri non esistono configurazioni di equilibrio relativo per \(S\).

  2. Escludendo il caso di cui al punto 1. determinare tutte le possibili configurazioni di equilibrio relativo di S, analizzando la stabilitá ed instabilitá solo nel caso \(F \neq m g\) ed \(m \omega^{2}-k \neq 0\).

  3. Scrivere le equazioni del moto relativo di \(S\) e gli eventuali integrali primi

  4. Studiare ove possibile in maniera esatta o, almeno, qualitativamente il moto di \(S\).

  5. Supposto che su \(S\) agisca l'ulteriore forza \(\{\widetilde{F}=-h \dot{G}, G\}\) (con \(h>0\) ), dire come si modificano le configurazioni di equilibrio e la relativa stabilitá.

  6. Nell'ipotesi di cui al punto 5. scrivere le corrispondenti nuove equazioni di Lagrange studiando i moti in prima approssimazione (sempre nel caso in cui \(F \neq m g\) ed \(m \omega^{2}-k \neq 0\) ) attorno ad una eventuale configurazione di equilibrio stabile.

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