Esame del 23 dicembre 2021

Università degli studi di Catania
Corso di laurea Triennale in Matema
tica Prova scritta di Fisica
Matematica Appello del 23.12.2021

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Un piano verticale $\mathrm{\Pi }$ ruota uniformemente, con velocitá angolare $\overrightarrow{\omega }$ attorno ad una sua retta verticale $r$.

Tale piano coincide con il piano coordinato $xy$ di un riferimento ortonormale levogiro $\{O,\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}\}\equiv \{O,x,y,z\}$ con l'asse delle $y$ verticale ascendente sovrapposto alla retta $r$ (vedi figura)

In $\mathrm{\Pi }$ é mobile un disco $S$ omogeneo, di massa $m$, raggio $R$ e centro $G$, avente un estremo $A$ di un suo diametro vincolato a muoversi sull'asse delle $x$.

Scegliando come parametri lagrangiani le coordinate generali $\{X,\vartheta \}$, dove $X$ l'ascissa del baricentro di $S$ e $\vartheta$ l'angolo che il vettore $(G-A)$ forma con la verticale discendente (vedi figura), e che su $S$, oltre alla forza peso, agiscano le forze

$$\{F_1=-K(G-\overline{G}),G\}\text{ ed }\{F\overrightarrow{e_1},B\}\text{ con }K>0,F\ge 0$$

essendo $\overline{G}$ la proiezione ortogonale di $G$ sull'asse delle $y,B$ il punto del disco tale che $(B-G)=\overrightarrow{e_3}\wedge (A-G)$.

Nella ipotesi che i vincoli siano realizzati senza attrito, si chiede di:

1. Determinare sotto quali condizioni sui parametri non esistono configurazioni di equilibrio relativo per $S$.

2. Escludendo il caso di cui al punto 1. determinare tutte le possibili configurazioni di equilibrio relativo di S, analizzando la stabilitá ed instabilitá solo nel caso $F\ne mg$ ed $m{\omega }^2-k\ne 0$.

3. Scrivere le equazioni del moto relativo di $S$ e gli eventuali integrali primi

4. Studiare ove possibile in maniera esatta o, almeno, qualitativamente il moto di $S$.

5. Supposto che su $S$ agisca l'ulteriore forza $\{\tilde{F}=-h\dot{G},G\}$ (con $h>0$ ), dire come si modificano le configurazioni di equilibrio e la relativa stabilitá.

6. Nell'ipotesi di cui al punto 5. scrivere le corrispondenti nuove equazioni di Lagrange studiando i moti in prima approssimazione (sempre nel caso in cui $F\ne mg$ ed $m{\omega }^2-k\ne 0$ ) attorno ad una eventuale configurazione di equilibrio stabile.

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