Esame del 4 febbraio 2022
Università degli studi di Catania
Corso di laurea Triennale in Fisica
Prova scritta di Meccanica Analitica
Appello del 04.02.2022
Sia dato un sistema mobile in un piano verticale liscio \(\Pi\), costituito da un semidisco omogeneo \(\Gamma\) di centro \(Q\), raggio \(R\), base \(A B\), massa \(M\) e baricentro \(G\). L'estremo \(A\) della base é vincolato a muoversi su una guida rettilinea orizzontale \(s\) di \(\Pi\) (asse \(\vec{x}\) in figura). Il piano \(\Pi\) é posto in rotazione attorno ad una sua retta verticale \(r\) (asse \(\vec{y}\) in figura) con velocitá angolare uniforme \(\omega\), e sia \(O\) il punto di intersezione fra le rette \(r\) ed \(s\). Utilizzando \(\{O, \vec{x}, \vec{y}\}\) come riferimento relativo, e \(\{X, \vartheta\}\) come variabili lagrangiane, essendo \(X\) l'ascissa di \(A\) e \(\vartheta\) l'angolo che la base \(A B\) forma con l'asse verticale discendente passante per \(A\). Sul disco \(\Gamma\), agisce la forza elastica
essendo \(\alpha\) un parametro adimensionale reale positivo. Supponendo che tutti i vincoli siano realizzati senza attrito, si chiede di determinare nel riferimento relativo:
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Tutte le possibili configurazioni di equilibrio relativo al variare di \(\alpha>0\) e, discuterne la stabilitá e/o instabilitá solo nel caso \(0<\alpha \leq 1\).
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Scrivere le equazioni del moto, e gli eventuali integrali primi.
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Dire se esistono moti traslatori del semidisco \(\Gamma\), ed, in caso affermativo, determinare la specifica soluzione del moto, al variare del parametro \(\alpha\), assumendo come condizioni iniziali \(X(0)=R\) e \(\dot{X}(0)=0\).
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