Esame del 25 febbraio 2022
Università degli studi di Catania
Corso di laurea Triennale in Matematica
Prova scritta di Fisica Matematica
Appello del 25.02.2022
Un sistema materiale é costituito da due aste omogenee pesanti denominate rispettivamente \(\overline{A B}\) di massa \(M_{1}\) e lunghezza \(L_{1}\) e \(\overline{B C}\) di massa \(M_{2}\) e lunghezza \(L_{2}\) con \(L_{2}>L_{1}\), incernierate senza attrito in \(B\). Il sistema, posto in un piano verticale \(\Pi\), ha i punti \(A\) e \(C\) su una guida liscia orizzontale \(r\) (asse delle \(\vec{x}\) in figura), mentre il punto \(B\) scorre senza attrito su una guida verticale \(s\) (asse delle \(\vec{y}\) in figura), con \(O\) punto di intersezione tra \(r\) ed \(s\). Sul sistema oltre alla forza peso agisce la forza elastica
essendo \(D=(0, a)\) un punto di \(s\) posto superiormente ad \(r\) con \(a>L_{1}\). Inoltre il piano verticale \(\Pi\) ruota uniformemente, con velocitá angolare \(\vec{\omega}\) attorno alla retta verticale \(s\). Scegliendo come unica coordinata lagrangiana l'angolo \(\vartheta\) tra la verticale \(s\) e l'asta \(\overline{A B}\) (come in figura) si chiede di determinare
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Tutte le possibili configurazioni di equilibrio del sistema.
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Ponendo per semplicitá \(M_{1}+M_{2}=M\), studiare la stabilità-instabilità delle configurazioni di equilibrio sistema, assumendo che valga la condizione
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Scrivere l'equazione di moto, determinando gli eventuali integrali primi.
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Nelle condizioni del punto 2. studiare i moti in prima approssimazione attorno ad una configurazione di equilibrio stabile per il sistema.
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