Esame del 15 aprile 2022

Università degli studi di Catania
Corso di laurea triennale in Fisica
Esame di Meccanica Analitica
Appello del 15.04.2022

Un sistema materiale \(S\), posto in un piano verticale \(\Pi\), é costituito da due aste pesanti denominate rispettivamente \(A B\) e \(D E\) e da un punto materiale \(P\). \(A B\) é un'asta omogenea di massa \(M / 4\) e lunghezza \(4 d\) che ha il suo punto medio \(C\) fisso, coincidente con l'origine \(O\) del riferimento \(\{O, \vec{x}, \vec{y}\}\) rappresentato in figura nel piano \(\Pi\) (potendo quindi, l'asta \(A B\), ruotare attorno al punto fisso \(O\) ). \(D E\) é un'asta di massa \(M\) e lunghezza \(2 d\) con densitá non omogenea \(\varrho(s)=\gamma s^{2}\) (essendo \(s\) la distanza di un generico punto dell'asta valutata a partire dal suo estremo \(D\) ) con \(\gamma>0\) ed \(0 \leq s \leq 2 d\). L'asta \(D E\) ha il suo punto medio incerneriato con l'estremo \(B\) dell'asta \(A B\) (potendo quindi, l'asta \(D E\), ruotare attorno a tale punto). Infine il punto \(P\) di massa \(2 / 3 M\) è fissato sull'estremo \(A\) dell'asta \(A B\). Sul sistema oltre alla forza peso agisce la forza elastica

\[\left\{F=-k\left(D-D^{\prime}\right), D\right\} \quad \text { con } \quad k>0\]

essendo \(D^{\prime}\) la proiezione di \(D\) sulla retta verticale passante per \(B\). Scegliendo come coordinate lagrangiane gli angoli \(\{\alpha, \beta\}\) che le aste \(A B\) e \(D E\) formano rispettivamente con le verticali discendenti passanti per i punti medi \(C\) e \(B\) delle stesse (vedi figura) si chiede di:

  1. Determinare tutte le possibili configurazioni di equilibrio del sistema studiando la stabilità-instabilità, delle suddette configurazioni, solo nel caso in cui valga la condizione \(M g \neq 2 k d\).

  2. Scrivere le equazioni di moto, determinando gli eventuali integrali primi.

  3. Studiare i moti in prima approssimazione attorno alla evidente configurazione di equilibrio \(\{\alpha=0, \beta=0\}\).

  4. Determinare dei possibili moti per i quali: l'asta \(D E\) si mantiene verticale \((\sin (\beta)=0)\), avendosi atto di moto nullo iniziale per l'asta \(A B\left(\dot{\alpha}_{0}=0\right)\).

  5. Supponendo, infine che, a differenza dei punti precedenti, il piano \(\Pi\) ruoti uniformemente, con velocitá angolare \(\omega\) attorno all'asse \(\vec{y}\), calcolare il potenziale centrifugo associato all'intero sistema \(S\).

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