Esame del 24 giugno 2022
Università degli studi di Catania
Corso di laurea Triennale in Matematica
Prova scritta di Fisica Matematica
Appello del 24.06.2022
Un sistema materiale \(S\), posto in un piano verticale \(\Pi\), é costituito da una circonferenza \(\gamma\) omogenea di raggio \(R\), centro \(C\) e massa \(3 m\), e da un'asta omogenea \(C B\) di lunghezza \(R\) e massa \(m\) saldata a \(\gamma\) in un suo punto \(B\). Sul punto di \(\gamma\) diametralmente opposto a \(B\) é saldato un pattino \(A\) attorno a cui \(\gamma\) puó ruotare mantenendosi nel piano verticale \(\Pi\). Nell'ipotesi che \(A\) scorra su una guida \(r\) di \(\Pi\) inclinata di \(\pi / 3\) rispetto alla verticale discendente, che tutti i vincoli siano lisci, e che sul sistema agiscano anche le forze
essendo \(O\) un punto di \(r\) e \(B^{\prime}\) la proiezione ortogonale di \(B\) sull'orizontale per \(O\) (asse \(\vec{x}\) ). Scegliendo come coordinate lagrangiane l'angolo \(\vartheta\) che \(A B\) forma con la verticale discendente passante per \(A\), ed \(s\) la distanza del punto \(A\) dal punto \(O\) sulla guida \(r\) (vedi figura) si chiede di:
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Determinare tutte le possibili configurazioni di equilibrio del sistema studiando la stabilità-instabilità, delle suddette configurazioni.
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Scrivere le equazioni di moto, determinando gli eventuali integrali primi.
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Studiare i moti in prima approssimazione attorno alla configurazione di equilibrio nella quale \(O \equiv A\) e \(B\) é sulla verticale discendente per \(O\).
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Supponendo, infine che, a differenza dei punti precedenti, il piano \(\Pi\) ruoti uniformemente, con velocitá angolare \(\omega\) attorno all'asse \(\vec{y}\), calcolare il potenziale delle forze apparenti associato all'intero sistema \(S\).
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