Esame del 22 luglio 2022

Università degli studi di Catania
Corso di laurea Triennale in Fisica
Prova scritta di Meccanica Analitica
Appello del 22.07.2022

Sia dato un sistema mobile in un piano verticale liscio \(\Pi\), costituito da un semidisco omogeneo \(\Gamma\) di centro \(C\), raggio \(R\), base \(A B\), massa \(M\) e baricentro \(G\). L'estremo \(A\) della base é vincolato a muoversi su una guida rettilinea verticale \(s\) di \(\Pi\) (asse \(\vec{y}\) in figura). Sia \(r\) una retta orizontale di \(\Pi\) (asse \(\vec{x}\) in figura) e sia \(O\) il punto di intersezione fra le rette \(r\) ed \(s\). Utilizzando \(\{O, \vec{x}, \vec{y}\}\) come sistema di riferimento riportato in figura, e \(\{S, \vartheta\}\) come variabili lagrangiane, essendo \(S\) l'ordinata di \(A\) e \(\vartheta\) l'angolo che il segmento \(G A=d\) forma con l'asse verticale discendente passante per \(A\). Sul disco \(\Gamma\), oltre alla forza peso agiscono le due forze elastiche

\[\left\{F_{1}=-h(A-O), A\right\}, \quad\left\{F_{2}=-k(G-O), \quad \text { con } \quad h>0, \quad \text { e } \quad k>0\right.\]

Supponendo che tutti i vincoli siano realizzati senza attrito, si chiede di determinare:

Tutte le possibili configurazioni di equilibrio e, discuterne la stabilitá e/o instabilitá con la condizione \(k^{2} d-m g h \neq 0\)
Scrivere le equazioni del moto, e gli eventuali integrali primi
discutere il moto linearizzato attorno alla evidente configurazione di equilibrio per la quale il baricentro \(G\) si trova superiormente ad \(A\) sulla retta \(s(\) asse \(\vec{y})\)
Supposto di aver fissato \(A\) coincidente con \(O\) studiare il moto del semidisco quando esso abbia inizio, con atto di moto nullo, dalla configurazione per la quale il baricentro \(G\) si trovi sull'orizontale positiva (semiasse \(\vec{x}\) positivo) per \(O\).

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