Esame del 2 settembre 2022

Università degli studi di Catania
Corso di laurea triennale in Fisica
Prova scritta di Meccanica Analitica
Appello del 02.09.2022

In un piano verticale \(\Pi\) sia dato un sistema di riferimento \(\{O, \vec{x}, \vec{y}\}\) (vedi figura) con \(\vec{y}\) verticale ascendente. Su \(\Pi\) si abbia un sistema materiale costituito da una circonferenza omogenea \(\gamma\) di massa \(M\) e raggio \(R\) vincolata ruotare attorno al suo centro, coincidente con l'origine \(O\), e da una lamina quadrata omogenea \(\Gamma\) (vedi figura), sempre di massa \(M\) vertici \(A C B D\) e diagonale \(A B\) di lunghezza pari a \(2 R\), anch'essa vincolata a muoversi nel piano \(\Pi\), con l'estremo \(A\) incernierato, sempre senza attrito, a muoversi sulla circonferenza \(\gamma\). Oltre alla forza peso, sul sistema agisce la forza elastica

\[\{F=-k(G-O), G\} \quad \text { con } k>0,\]

essendo \(G\) il baricentro della lamina \(\Gamma\).

Supposto che il piano \(\Pi\) sia posto in rotazione uniforme con velocitá angolare \(\omega\) attorno alla verticale \(y\), ed utilizzando come coordinate Lagrangiane gli angoli, \(\vartheta\) che \(\overline{O A}\) forma con l'asse delle \(y\) negativa, e \(\psi\) che la diagonale \(\overline{A B}\) della lamina \(\Gamma\) forma con la verticale discendente passante per \(A\), si chiede di determinare nel riferimento relativo:

  1. Tutte le configurazioni di equilibrio relative, al variare dei parametri \(k, g\), \(M, R\) ed \(\omega\).

  2. La stabilitá ed instabilitá di tutte configurazioni di equilibrio in cui \(A\) e \(G\) si trovano sull'asse verticale \(y\) con le condizioni \(k=M \omega^{2}\) ed \(\frac{g}{2 \omega^{2} R} \neq 1\).

  3. Le equazioni del moto, determinando gli eventuali integrali primi.

  4. I moti in prima approssimazione, attorno alle configurazioni di equilibrio del sistema di cui al punto 2 .

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