Esame del 10 febbraio 2023

Università degli studi di Catania
Corso di laurea triennale in Fisica
Esame di Meccanica Analitica
Appello del 10.02.2023

In un piano \(\Pi\) si consideri un riferimento \(\{O, x, y\}\), ed in questo piano sia dato un sistema materiale \(S\) costituito da da due aste omogenee denominate rispettivamente \(A C\) di massa \(m_{1}\) e lunghezza \(l_{1}\) e \(A B\) di massa \(m_{2}\) e lunghezza \(l_{2}\) con \(l_{2}>l_{1}\), incernierate senza attrito in \(A\). Gli estremi \(B\) e \(C\) delle due aste possono scorrere senza attrito sulla verticale \(\vec{y}\) di \(\Pi\) (vedi figura), mentre il punto \(A\) scorre senza attrito sull'asse \(\vec{x}\) del riferimento (vedi figura). Sul sistema \(S\) agiscano solo le due forze elastiche

\[\left\{F_{1}=-k(A-D), A\right\} \quad\left\{F_{2}=-k(B-O), B\right\} \quad \text { con } \quad k>0\]

essendo \(D=(d, 0)\) un punto fissato sull'asse \(\vec{x}\) positivo. Inoltre il piano verticale \(\Pi\), contenente il sistema \(S\), ruota con velocitá angolare uniforme \(\vec{\omega}\) attorno all'asse \(\vec{x}\).

Scegliendo come unica coordinata lagrangiana l'angolo \(\vartheta\) tra la distanza \(O A\) e l'asta \(A C\) (come in figura) si chiede di determinare, nel riferimento relativo

  1. Tutte le possibili configurazioni di equilibrio del sistema, studiandone la la stabilitá-instabilitá.

  2. Scrivere l'equazione di moto, determinando gli eventuali integrali primi.

  3. Studiare i moti in prima approssimazione attorno alle configurazioni di equilibrio per il sistema.

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